ポリアの壺による連続した数の積の展開式の考察

ポリアの壺とは、

ある袋に黒と白の2色の玉がそれぞれ m,n 個ずつ入っている。この袋から無造作に玉を一つ取り出す。そして、取り出した色の玉を加える。この動作を繰り返す時、この動作のN 回目に黒の玉を取り出す確率を Pm(N) とすると。

である。というものである。

これを座標を利用して解いていくと階乗の展開式(恐らく正しいが確証はない)が得られることを利用する。

では、どのように座標平面上に示すのか。

上図のように示す。勘のいい人はすぐに、Pm(N) は N の斜めの直線に入ってくる赤い線の確率の総和であるとわかるだろう。具体的に書き込むと下のようになる。

となる。これを重複に気をつけて一般化すると、

ここで、ポリアの壺の確率より、等式で結ぶと、

この式が得られる。

またこれは以下のように書き換えられる。

追記:2016/10/01

以上のようにN≧2の整数において成立することが示された。