代入法の原理

一般的参考書に書いてあるかどうかは知りませんけど割と疎かというか雑に扱われているような気もします。当たり前といえばそれでおしまいなのですが…

①式と②式があって①式を②式に代入して③式が出てきたとき

①かつ② ⇄ ①かつ③

が成立する。

というものですね。考えてみると当たり前ですね。

仮に①と②をある二変数の式とします。すると変数 x,y の下で

y=f(x)…①

y=g(x)…②

とします。すると仮に①に②を代入し、yを消去すれば

f(x)=g(x)…③ 

が出てきて xが求まります。しかし、③のみで yが決まることはありません。要は①式と②式を使って③式を導いた場合、①式と③式。または②式と③式の二式を連立して得た解は①式と②式を連立して得た解と同値。

もう少し言い換えてみます。

①かつ②に同値であるためには、ある条件を用いて①かつ②を導けることと同値。すなわち、③のみならず、①または②が必要。よって①かつ③または②かつ③のときに同値。③単体は①かつ②であるための必要条件。

前の記事でも述べた通り、必要条件のみから必要十分を示すのはほとんど無理です。